Egy játékshow főszereplőjeként a végszó előtt állsz. Három ajtó közül választhatsz – az egyik mögött egy új sportkocsi található, a másik kettő mögött egy-egy kecske vár. A szabályok értelmében meg kell jelölnöd egyet az ajtók közül, ezután a műsorvezető a másik két ajtó közül kinyit egyet, ami mögött kecske van. És itt jön a lényeg: felteszi a kérdést, hogy szeretnél-e a másik (a “maradék”) ajtóra váltani, vagy kitartasz az eredeti választásod mellett.
Akinek van igénye ilyesmire, az most gondolkodhat egy sort :)
Ezt a szitut “Monty Hall paradoxon” néven ismeri a közvélemény, és a megoldása közel sem annyira egyszerű, mint első pillantásra gondolná az ember. Matematikailag egyértelműen levezethető, hogy érdemes átváltani, mert az eredeti ajtóhoz ragaszkodva a nyerési esély 1/3, míg a “maradék” ajtóval 2/3. Levezethető, de a legtöbb ember a világ minden kincséért sem hajlandó megérteni. Miután a Parádé magazinban 1990-ben megjelent a feladvány és a levezetés, nagyjából tízezer ember – köztük 1000 PhD-s – írt a magazinnak, hogy tévednek.
Kinek van kedve megvitatni a problémát? A wikin tájékozódni csalás :D
Az egész azon múlik, hogy a már kinyitott kecskés ajtót számításba vesszük-e, vagy nem. Ez a döntés viszont teljesen önkényes.
– Ha számításba vesszük, akkor tényleg 2/3 az esélye, hogy az autó a kettes és a hármas ajtó valamelyikében lesz (hármas már nyitva a kecskével), szemben az önmagában nézett egyes ajtó 1/3-ához képest. De ugyanígy 2/3 lenne az esélye az egyes és hármas ajtónak együtt, a kettes ajtó önmagában vett 1/3 esélyével szemben is. Látszólag tehát akármelyik csukott ajtót választod, annak a már nyitott ajtóval együtt mindig 2/3 esélye lesz a maradékkal eggyel szemben, így viszont teljesen lényegtelen, hogy melyik két ajtónak számolod a 2/3 esélyét.
– Ha nem számolunk a már nyitott ajtóval, akkor a maradék kettő közül 50-50% az autó esélye.
Leegyszerűsítve:
A, eset – ha az egyes ajtót választod, és a hármasban van a kecske, akkor 2/3 az esélye, hogy az autó inkább a kettesben lesz
B, eset – ha a kettes ajtót választod, és a hármasban van a kecske, akkor 2/3 az esélye, hogy az autó inkább az egyesben lesz
De mivel A és B eset is ugyanazt az eredményt hozza, csak a másik ajtóra, mégiscsak az 50-50%-nál lyukadtunk ki. Látszólag tehát javulnak az esélyek az ajtóváltással – de csak látszólag.
Vagy megint másképp: a váltás előtti pillanatban valóban kétharmad az esélye, hogy az autó inkább a másik kettőben lesz. De amint átváltasz a kettes ajtóra, attól a pillanattól fogva hirtelen annak lesz kétharmad az esélye, hogy az autó mégis inkább az első ajtóban volt. Adtunk a szarnak egy pofont.
“De amint átváltasz a kettes ajtóra, attól a pillanattól fogva hirtelen annak lesz kétharmad az esélye, hogy az autó mégis inkább az első ajtóban volt.”
Miért is?
Mivel mindig ami éppen ki van jelölve, ahhoz képest a másik kettőnek van 2/3 esélye. Persze, ha egyetlen egy adott időpillanatban nézzük, mindenféle előfeltevés meg tágabb keret nélkül, és nem gondoljuk tovább az egészet a váltás pillanatánál vagy az első ajtó megjelölését megelőzően, akkor igen, ott és akkor tényleg nagyobb az esély, hogy az elsőre megjelölt helyett a másik kettőben van. Mondjuk szerintem ennek a kétharmadolásnak is csak addig van bármiféle értelme, amíg a harmadik ajtóról ki nem derül, hogy kecske. Lehet egyébként, hogy statisztikailag annyira jön ki, de az Isten szerelmére, egy ajtóról már biztosan tudja, hogy ott nem lehet az autó, tehát a végén ígyis-úgyis kettő közül kell választania.
De ez már olyan szintű szőrszálhasogatás, amiért száz éve kulturáltabb helyeken pofon járt.
“mivel A és B eset is ugyanazt az eredményt hozza, csak a másik ajtóra”
De csak az egyik lehet érvényes, a kettő egyszerre nem :) Vagy az A eset van és akkor 2/3 ha váltasz, vagy a B, és akkor is 2/3 ha váltasz.
Persze, ott abban az adott pillanatban, a kijelölés után, de még a váltás előtt. Node ha így előre ki tudod számolni, hogy bármelyiket is jelölnéd meg, úgyis a másik jön ki valószínűbbre, akkor mi értelme van az egésznek?
Mi az, hogy számításba vesszük-e? Számításba KELL venni, mert az is egy információ. Ha váltasz, akkor voltaképpen KÉT ajtó nyerési esélyét választod az egy helyett, hiszen egy kecskéset előzékenyen kilőnek neked. Jó kis feladvány egyébként, én is szoktam vele tesztelni az ismerőseim intelligenciáját :-)))
Igen. És a saját elsőre kiválasztott ajtód meg az előzékenyen kilőtt kecskés ajtó is mint két ajtó áll szemben azzal a maradék eggyel, amire esetleg nem váltasz át. Ugyanott vagy.
Az a helyzet, hogy ezt a feladványt nem megérteni nehéz, hanem elmagyarázni azoknak, akik mégsem értették meg :-P
Nézd végig a videót, tényleg szájbarágósan elmagyarázza. Választasz egy ajtót 1/3 nyerési eséllyel, vagy választod a másik kettőt 2/3 eséllyel, ez itt a kérdés.
“nagyjából tízezer ember – köztük 1000 PhD-s – írt a magazinnak, hogy tévednek.”
Ez mutatja, hogy a végzettség és az ész nem feltétlenül korrelálnak :-)
Szerintem nem:) De nem vagyok matematikus.
Értem a számítást, hogy miért 2/3, de ez kicsit bűvészkedés. Amikor kinyitják az egyik ajtót, új helyzet keletkezik, újra választani kell, de már csak két ajtóból. Az is egy választás, hogy maradok az eredetinél, és az is, hogy váltok a harmadikra. Így 50% eséllyel lesz valamelyik mögött az autó.
Nem keletkezik új helyzet, éppen ezt nem szokták megérteni az emberek. Még a Mensában sem mindenki értette meg, ha ez vigasztal :-). Ha választasz egy ajtót, azzal választasz 1/3 esélyt. Ha a másik két ajtót választod, az meg 2/3 esély.
Akkor magyarázd el:) Amikor kinyitják az egyik ajtót, újra döntenem kell, ha az eredeti választásomnál maradok, az is egy döntés.
Megpróbálom… Szóval, mikor kiválasztasz egy ajtót, akkor 1/3 az esély, hogy mögötte van és 2/3, hogy a másik kettő valamelyike mögött. Ha az lenne a kérdés, hogy az általad megfogott ajtót választod, vagy a másik kettőt együtt, akkor ugye inkább a kétszeres esélyt adó két ajtót választanád, nem? És a poén az, hogy voltaképpen ez is történik, hiszen a kettő közül mindig egy nem nyerőt nyitnak ki, tehát az esetek 2/3-ában a maradék ajtó mögött lesz a merci és 1/3-ban az általad kiválasztott mögött.
Vagy játszd le magadban a lehetséges esélyeket:
1. Az általad kiválasztott mögött van, váltasz, nem nyersz.
2. A másik kettő közül az egyik mögött van, az üreset kinyitják, váltasz, nyersz.
3. A másik kettő közül a másik mögött van, az üreset kinyitják, váltasz, nyersz.
Hm, értem. De valahogy egyszerre tűnik logikusnak ez magyarázat is, meg az enyém is. Csináltak kísérletet?:)
Ott a gondolatkísérlet az 1-3. pontok alatt. De Inaara videója is tökéletesen elmagyarázza.
Oké, felfogtam. De ez akkor is boszorkányság:) Szakértői trükk:) (A videót nem néztem meg, utálom a videókat.)
Annyira nem így működik az agyunk. Létezik ilyesmi döntéshelyzet a való életben? Valószínűleg nem.
Pont ilyen helyzet is létezik, hiszen valami tévés vetélkedőről is nevezték el a feladványt. És aki elég okos, az kétszer akkora eséllyel nyer, ami támogatandó dolog. Az ilyen feladványoknak van gyakorlati hasznuk is, például a 100 rabnős sztoriból tudjuk, meddig érdemes nézelődni vásárlás előtt, meg ilyesmik…
A tévés vetélkedő az egy mesterséges helyzet, nem olyan, ami magától előfordul. Azért érdekes, mert annyira mást mond a józan eszünk, mint ami a helyes megoldás. Mintha nem az ilyen gondolkodásra fejlődött volna ki az agyunk.
A józan ész igen könnyen becsapható, félrevezethető. Azért hasznos, ha az ember néha megkérdőjelezi, hogy biztos olyan egyszerű-e minden, mint amilyennek látszik.
Ettől függetlenül bevallom, csak meglehetősen erőltetett élethelyzeteket tudtam elképzelni a fenti feladvány analógiájaként, de nem is ez a lényeg, hanem a rugalmas gondolkodásmód megléte, ami hasznos lehet sok más helyzetben is.
Ez nagyon érdekes. Én sem vagyok matematikus – enyhén szólva – , és a valószínűség-számításhoz sem értek, úgyhogy pusztán IQ-ból azt hiszem, váltanék. Nem tudom megmagyarázni, hogy miért, látszólag ugyanazok az esélyek, akárhogy is döntök.
Valaki okos levezeti, hogy miért jobb az egyik verzió a látszólagos azonos esélyek mellett?
Utánanéztem. Itt egy nagyon jó, világos angol nyelvű video az oldal alján : http://poker.deluxe.hu/20080904/a_monty_hall_paradoxon
A lényeg, hogy az ajtóváltással megduplázzuk a nyerési esélyünket, tehát 66 %, hogy meglesz az autó. Ha nem váltunk, akkor csak 33 % az esély.
Az érthetőség kedvéért növeljük meg a számokat. Van 100 ajtó, 99 mögött van kecske, 1 mögött pedig autó. Egyet választasz, 98 kecskés ajtót kinyitnak. Érdemes-e váltani?
Egyértelmű, és bárki által belátható, hogy igen. Hiszen hihetetlen kicsi az esélye annak, hogy elsőre pont eltaláltuk volna. Ha viszont az a másik ajtó zárva maradt, annak jó oka van, valószínűleg ott az autó.
Na, így mindjárt más.
Spalvin megjegyzése is sokat segíthet a gondolkodási csapda leküzdésében.
Hosszas töprengéssel arra jutottam, hogy a problémát leginkább az okozza, hogy az ember nem képes felfogni, hogy egyidejűleg több igazság létezik. Történetesen a józan eszünk ragaszkodik hozzá, hogy két ajtó közül választva 50-50% az esély… Ami igaz is… Mert például ha bevonunk még egy személyt a játékba, akit csak akkor hívnak be a terembe, amikor már csak a két ajtó maradt, és nem közlik vele, hogy a játékos melyik ajtót választotta, és ezen a ponton ő is tippel, akkor ő valóban 50-50% valószínűséggel tudja csak eltalálni a jó ajtót.
A nagyobb valószínűséggel bíró döntést az információ teszi lehetővé, már ha tudod értelmezni. Az információ persze nem változtat semmit sem a világegyetem szabályain, tehát az 50-50 % ettől még érvényben marad, csak éppen nem arra a személyre nézve, aki egy járulékos információ birtokában becsüli meg a valószínűségeket.
Az alaptétel az, hogy minden ajtó mögött 33.3˙ % valószínűséggel van az autó. Ha választasz, akkor ennyi esélye van annak, hogy jól választottál. A másik két ajtó mögött kétszer 33.3˙ azaz együttesen 66.6˙ % valószínűséggel van az autó. Itt lép be az információ: Közlik, hogy az általad nem választottak közül melyik mögött nincs autó. Egy ajtó kiesett, ebből az információból pedig tudod, hogy az általad nem választott maradék egy darab ajtó mögött 66.6˙% valószínűséggel van az autó, míg az általad választott mögött továbbra is csak 33.3˙ % valószínűséggel. Tehát jobban jársz, ha módosítod a tippedet az új információ fényében.
Az ember agya nehezen oldja fel az egymásnak ellentmondani látszó, párhuzamosan érvényes igazságokat, viszont ha a fentieket megérted, akkor ez a paradoxon lényegében nem is paradoxon többé…
Daphne kérdezte, hogy kísérletet végeztek e? – Természetesen kísérletileg is egyszerűen igazolható a dolog. A Myth Busters sorozatot biztosan sokan ismerik. Az egyik részben kiválóan szemléltették a Monthy Hall paradoxont. Egy döntési sorozat eredményeként azonnal szembetűnő, hogy milyen drámai a különbség a két választás között. Folyton az első döntésnél maradva csak az esetek 33.3% -ában, míg a döntésed mindig megváltoztatva az esetek 66.6%-ában nyersz.
Íme a “bizonyító”, szemléltető videó:
http://www.youtube.com/watch?v=8IUGY6T0x_c
Aki esetleg annyira nem penge oroszból, vagy egyszerűen csak olyan a kedve, itt letöltheti az egész epizódot angol nyelven.
Most hogy megnéztem, azt kell mondjam: annak ellenére, hogy a helyes következtetésre jutottak, fantasztikusan logikátlanul álltak a dologhoz :P Mondjuk ennek az egyik legfontosabb oka valszeg az, hogy ez részben barkácsműsor :)
Nem kifejezetten barkácsműsor, bár némi rokonságot ápol azokkal. Mivel nem tévézel nem tudom, hogy ismered-e. Bár ha az angol változatot ajánlod, akkor csak-csak. A műsorban két filmes vizuális effekt tervező igyekszik mindenféle mítoszokat kimerítő és szemléletes, látványos kísérletezéssel érdemben cáfolni, vagy alátámasztani. Gondolom ebben az esetben is valamilyen vizuálisan is szemléletes megoldást kerestek a nézők kedvéért, még ha több is az izzadság, mint a logika. :)
A Myth Busters jelenleg is műsoron van magyarul is a Discovery-n, de a Youtube-on sajnos csak orosz szinkronos változatot találtam. :)
Ismerem a mythbusterst, nem vagyok teljesen analfabéla :) De ennek a “problémamegoldásnak” teljesen barkács jellege volt, én legalábbis nem tudok semmi mást belelátni abba, hogy 1. az önmagában teljes első kísérlet eredményeinek felét kihajítják az ablakon, 2. a létező legkacifántosabb és legbonyolultabb mechanizmust építik ugyanannak a dolognak a másodtesztelésére, aminél egy átlagos óvodás 20 egyszerűbbet tudott volna mondani fél perc alatt. Tényleg arra ment ki a játék, hogy építhessenek valami látványos fiszfaszt :)
Annyit kellett volna tenniük, hogy az első kísérletben feljegyzik hányan nyertek és hányan vesztettek, és csapó. Ha igaz az elmélet akkor 6-7 ember nyert volna a maradással és 13-14 veszít. Nem túl nagy mintavétel, de azért elég lett volna a bizonyításhoz.
Mondjuk annyit így is bizonyítottak, hogy az emberek többsége nem túl nagy matematikai lángelme :)
Ez már annyira erőltetett, hogy ennyi izzadtsággal feláshattak volna több kertet.
Ne haragudjatok, de ez egy ökörség, akárki is találta ki. Bármi is történt az esemény elején a választás pillanatában fifty-fifty az esély. Ugyanis hiába 2/3 az esély az elején arra, hogy nem abban van a merci, amelyiket választottuk, közben van egy beavatkozás (egyik ajtó kinyitása), amely megváltoztatja a helyzetet és nem lehet tovább így számolni. Az elején mindhárom ajtónál 1/3 az esély, ebből kiválasztjuk az egyiket, majd egy másikat kinyitnak és annak az ajtónak az esélyessége így átszáll a másik kettőre fele-fele arányban.
Az egyik legkönnyebbnek kinéző és egyben legnehezebben megérthető statisztikai probléma a világon, de a végeredmény fix… Kísérletekkel akárhányszor igazolható, mint a videón is látható amit a mítoszvadászok csináltak.
“annak az ajtónak az esélyessége így átszáll a másik kettőre fele-fele arányban.”
Itt van a tévedés, mert nem a másik kettőre száll át az esélye, hanem csak arra, amivel párba volt állítva (mint nem kiválasztott ajtók).
“Az elején mindhárom ajtónál 1/3 az esély, ebből kiválasztjuk az egyiket…”
…tehát 2/3 az esélye annak, hogy a másik kettő valamelyike mögött van. És mivel mindig olyat nyitnak ki, ami mögött nincs nyeremény, a másik ajtó mögött lesz az esetek 2/3-ában.
Szerintem az a trükk ebben a feladványban, hogy az egyszerűbb gondolkodású emberek automatikusan azt feltételezik, hogy két egyforma, bezárt ajtó csak 50-50% esélyt jelenthet és el sem tudnak képzelni mást.
Savat rá.
Szerintem a Monty Hall paradoxon nem igazi paradoxon. Mert az ellentmondást nem a gondolkodás maga generálja: a műsorvezető a másik kettőből mindig azt nyitja ki, ahol nincs az autó. Ami egy külső, manipulatív beavatkozás a rendszerbe. Az igazi paradoxon az, amikor a gondolkodási rendszeren belül üti fel a fejét egy feloldhatatlan(nak tűnő) önellentmondás. Itt azonban nem erről van szó.
A példabeli látszat-paradoxon megfejtése szerintem a következő:
Amikor a három ajtó közül választ a versenyző (és a kiválasztott ajtót nem nyitják ki), akkor vagy eltalálta az autót, vagy nem. Ettől kezdve külön kell nézni.
1) Ha eltalálta a versenyző az autót (csak nem tud róla), akkor a műsorvezető a két kecskés ajtó közül kinyitja az egyiket, amivel fifty-fifty helyzetet teremt a versenyzőnek. De a műsorvezetőnek itt nincs választása, két értéktelen, kecskés ajtó közül kell “választania”.
2) Ha nem találta el a versenyző az autós ajtót (amit nem nyitnak ki), akkor a műsorvezető valódi választási helyzetbe kerül, más kérdés, hogy mindig ugyanúgy él ezzel a lehetőséggel. A műsorvezető mindig a kecskés ajtót nyitja ki, amivel beavatkozik a véletlenek rendjébe, úgy is mondhatjuk, hogy az ész valószínűség-számítási rendjébe. Mesterséges állapotot hoz létre a gondolkodás spontán szabályaihoz képest, mintegy “elrabol” 1/3 valószínűséget, ami miatt a továbbiakban már nem fifty-fifty a választási esélye a játékosnak. Ismétlem, ez csak e második esetben van, ha nem találta el első blikkre a játékos az autót. Ilyenkor az elrabolt egyharmad valószínűség folytán “többlet-valószínűség” keletkezik, ami miatt a játékosnak a még nem választott ajtót célszerű másodjára választania. A külső manipuláció hatását mutatják ki a gyakorlati kísérletek.
Pszichológiailag az történik, hogy két minőségileg különböző esetet a normál gondolkodás egyetlen homogén szemléletbe fésül össze, amivel létrehoz egy “paradoxon”-t. Számomra fontos, hogy pont így tünteti el a “kettős igazság” maszkulin igazságfelfogását a “minden egy” feminin igazságfelfogása.
Én inkább a két kecskét választanám, olyan opció nincs? Fasznak sem kell a sportautó, a kecskékkel viszont el lehet kezdeni az öko-önfenntartó életmódváltást. :)